Scienca Revuo/vol. 1, n-ro. 1/Rimarkoj pri la funkcioj de Euler, la faktora funkcio kaj la binomaj nombroj

El Vikifontaro
Salti al navigilo Salti al serĉilo
Formuloj en esperantaj revuoj Indekso : Scienca Revuo (1949)
de J. Giltay
Rimarkoj pri la funkcioj de Euler, la faktora funkcio kaj la binomaj nombroj
Esperanto en la scienco
vol. 1, n-ro. 1 (1949), p. 24–28

RIMARKOJ PRI LA FUNKCIOJ DE EULER, LA FAKTORA FUNKCIO KAJ LA BINOMAJ NOMBROJ
de J. GILTAY.
[redakti]

PDF-Dosiere

1. En siaj „Metodoj de matematika fiziko” la britoj H. kaj B. S. Jeffreys pledas por la uzo de la faktora funkcio anstataŭ la gamma-funkcio de Euler. Multaj matematikistoj antaŭe uzis la simbolon nur se estas pozitiva entjero. Efektive, tiukaze la difino de povas esti tre simpla:

, (1)

do: k.t.p.

Verŝajne la funkcio dankas al tiu difino la nomon faktora funkcio aŭ faktorialo.

Estas konata afero, kiun ni ne pruvos tie ĉi, ke validas la rilato

se estas pozitiva entjero.

Estas iom ĝene, ke la argumento, kiun oni bezonas plej ofte en la gammafunkcio estas ne , sed . Pro tio oni ankaŭ uzas la simbolon , difinatan de:

,

sed la simbolo kaŭzas konfuzon kun la tre multe uzata simbolo por diversaj produtoj.

Kiel oni vidas, la plej simpla maniero eviti la malfacilaĵojn estas: uzi la simbolon anstataŭ , ankaŭ en la kazoj de neentjera kaj de nepozitiva .

Unu el la plej gravaj ecoj de la gammafunkcio estas esprimata en la funkcia ekvacio:

,

kiu nun prenas la formon:

, (2)

validan por ĉiuj valoroj de .

Alia grava funkcia ekvacio estas:

Por neentjera la funkcio havas ĝenerale nesimplan valoron. Esceptoj estas la kazoj, en kiuj estas entjero plus duono, ĉar tiam la valoro estas facile trovata el la laŭbezona aplikado de (2) kaj la rilato:

sekvanta el (2) kaj (3) por .

Nun ni esploru la valorojn de k.t.p.

Se ni prenas en (2) , ni trovas:

Ĉar , la rezulto estas: .

Sed se ni prenas en (2) , ni trovas:

,

do devas esti infinita. En la sama maniero ankaŭ k.t.p. montriĝas infinitaj.

2. La betafunkcio de Euler estas funkcio de du grandoj. Oni trovas en la lernolibroj kutime la pruvon pri la rilato:

.

kaj iun rimarkon, ke la betafunkcio pro tio ne plu bezonas specialan esploron.

Ĉi tiu rilato transformiĝas en la nova notaĵo (se ni samtempe skribas kaj anstataŭ kaj ) en:

(4)

Oni renkontas la betafunkcion nur sur speciala kampo. La inverso de la dua membro de (4) enhavas la faktorojn kaj

el kiuj la dua estas renkontata sur tre multaj kampoj. En la formo

(ni igis ) ĝi enhavas la tre gravajn binomajn nombrojn.

De nun ni rezervos la literojn kaj por entjeroj, kontraŭe al , kaj , kiuj povos prezenti ankaŭ aliajn nombrojn.

La binomaj nombroj aperas en la disvolvoj de la diversaj potencoj de kiel la koeficientoj de la potencoj de .

La koeficienton de la -a potenco de en la disvolvo de oni kutime nomas „ super ”. Oni ankaŭ skribas super inter krampoj .

Ni uzos la notajon , por kiu oni vidu la artikolon pri notajoj en tiu ĉi kajero (p. 23).

Estas praktike, uzi la simbolon por la binomaj nombroj ankaŭ en la kazo de neentjera potenco de . Ni do havas por tute ĝenerale:

, (5)

en kiu formulo validas:

, ( pozitiva entjero), (6a)

, (6b)

, ( negativa entjero). (6c)

3. La difino de la binomaj nombroj per la formuloj (6c) estas malmulte kontentiga pro la fakto, ke tri kazoj devas esti distingataj. Ni montros pli ĝeneralan formulon.

Se en (6c) estas negativa nombro, ekzemple , la dua membro de (6a) povas esti reskribata jene:

,

en kiu esprimo la vicordo de la numeratoroj estas renversata kaj la minussignoj estas transplantataj antaŭen. Oni vidas el tio, ke validas:

(7)

se estas pozitiva entjero kaj estas negativa nombro. Nun el (7) sekvas, se oni igas la tiam pozitivan grandon (do :

( pozitiva).

Tio montras, ke (7) estas ankaŭ ĝusta por pozitiva .

Se , ambaŭ membroj de (7) estas nuloj, kiel sekvas el (6a) por pozitiva . Por pozitiva, la rilato (7) do validas por ĉiu valoro de . Sed el (6b), respektive (6c), sekvas la sama valideco de (7) por , respektive negativa entjero. Do (7) validas por ĉiu reala kaj ĉiu entjera .

El (6a) oni facile konkludos, ke almenaŭ por kelkaj valoroj de kaj devas validi la rilato:

. (8)

Oni vidas facile la validecon de (8) por nenegativa el (6a), (6b) kaj (6c).

Se estas negativa, sed ne estas entjero, oni sekvigas el (6a) kaj (7) por pozitiva :

Uzante (3) por kaj oni trovas plu:

Se, kiel ni supozis, estas entjero, ni havas

,

do

Evidente do (8) validas ankaŭ por negativa neentjera . Sed se estas negativa entjero la sinusoj en la antaŭa reduktoprocedo prenas la valoron nulo kaj nedifinita kvociento rezultas. Tiu malfacilaĵo estas forigata per la formulo:

(9)

kiu, kontraŭe al (8), ankaŭ por negativa entjero (kaj ) estas identa kun (6), ĉar la kvociento de la sinusoj restas unu en la limito. La transiro al la limito havas efektivan signifon nur se estas negativa entjero, kaj povus esti forlasata sen aliigo de la valoro de () en ĉiuj aliaj kazoj.

Ni povas preni (9) kiel difinon de la ,,binomnombra” funkcio () en kiu nun povas havi ankaŭ neentjerajn valorojn. Ni tamen supozas ke kaj estas realaj nombroj.

La binomnombra funkcio evidente havas la sekvantan rilaton kun la betafunkcio:

. (10)

4. Estas rimarkinde, ke la binomaj nombroj (nun difinitaj kiel la valoroj de la binomnombra funkcio por entjeraj valoroj de la du argumentoj) por pozitiva unua argumento montras simetrion, kiu ne ekzistas por negativaj valoroj de la unua argumento. Vidu por tio la tabelon:

0 0 0 1 -3 6 -10
0 0 0 1 -2 3 -4
0 0 0 1 -1 1 -1
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 1 2 1 0
0 0 0 1 3 3 1

La nenulaj nombroj en la malsupra duono de la tabelo trovigas en la sama vicordo en la triangulo de Pascal. Ankaŭ en tiu triangulo ĉiu vico de nombroj estas simetria. La vicoj por negativa tamen ne estas simetriaj. Rimarku, ke ĉie en la tabelo iu nombro estas la sumo de la nombro rekte super tiu nombro kaj ties maldekstra najbaro.

La rilato

,

kiun oni facile povus konjekti post (8), estas (tute kiel (8) mem) neĝusta por negativa, kiel montras la tabelo. Generale la rilato

estas nur ĝusta, se ne estas negativa entjero. La kaŭzo de tio estas, ke pro la limito en (9) la dua membro de (9) ne estas simetria rilate al kaj .

Ni devas rimarki, ke la difino (9) estas iomete arbitra. Estus ankaŭ eble difini kiel:

.

Al tiu difino ni estus venintaj, se ni estus prenintaj la disvolvon de , kiu konverĝas ĉiam por . Car tiam validas

En tiu disvolvo la koeficiento de estas . Oni vidas, ke por pozitiva entjero la du disvolvoj estas identaj.

Estas nia opinio, ke estas praktike, ligi la difinon de al la pli simpla kaj pli ofte uzata unua disvolvo.