Matematika Terminaro/Aritmetiko

Matematika Terminaro (1905)

de Raoul Bricard

Hachette et C^ie, Paris (p. 7-12)

Elŝuti kiel:

ARITMETIKO

Entjeroj. — $(0),1,2,\ldots n\ldots$ estas la sekvaĵo natura de la nombroj entjeraj^[1] (aŭ de la entjeroj). La nombro $0$ estas elparolata nul.

Per nombro kardinala oni komputas^[2] aĵojn kaj montras ilian kiomon. Per nombroj ordaj, oni numerigas ilin, kaj montras la vicon de ĉiu. Aferon, solan en ĝia speco, oni diras unika^[3].

Oni enkondukas en aritmetikon nombrojn negativajn. La entjeroj naturaj estas pozitivaj; $+~a,-~a$ estas elparolataj: plus $a$, minus $a$; $+,-$ estas signoj.

Se $a<0$, $-a$ estas la valoro absoluta de $a$.

Du nombroj, kontraŭsignaj, kaj havantaj saman valoron absolutan, estas kontraŭegalaj.

Racionaloj. — Nombro racionala (aŭ racionalo) estas fracio ${\frac {a}{b}}$ (elparolu $a$ sur $b$), kies ambaŭ termoj, $a$ kaj $b$, estas entjeraj; $a$ estas numeratoro; $b$, denominatoro.

Fracio $<1$ estas partumo.

${\frac {1}{n}}$ estas la inverso de $n$.

(E.) La fracio ${\frac {14}{21}}$ povas esti plejsimpligata en la fracion neredukeblan ${\frac {2}{3}}$. La du fracioj estas egalvaloraj.

Neracionaloj. — Nombro neracionala (aŭ neracionalo) estas difinebla per tranĉo farata en racionaloj (Dedekind). Ĝi povas esti, ĉu algebra, ĉu transcendenta.

Grando, Mezuro. — Per nombro, ĉu racionala, ĉu ne, oni mezuras grandon, post kiam, el grandoj samaspecaj, oni elektis unuon.

Du grandoj $a$, $b$, havas raporton^[4] ${\frac {a}{b}}$, kies termoj ricevas samajn nomojn, kiel tiuj de fracioj. Egaligo de du raportoj faras proporcion. Du variantaj grandoj povas esti proporciaj aŭ inverse proporciaj.

(E.) Se ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$, $a$, $d$ estas ekstremaĵoj; $b$, $c$, mezaĵoj.

Se ${\frac {a}{b}}={\frac {b}{c}}$, $b$ estas geometria mezo de $a$, $c$; ($d={\frac {a+c}{2}}$ estas aritmetika mezo).

Nombrado. — Oni skribas nombron en nombradsistemo $n$-uma. En nombradsistemo dekuma, oni legas nombrojn, partiginte ilin po sesciferaroj; $10^{6}$ estas miliono; $10^{12}$, biliono; $10^{18}$, triliono; k. t. p. ^[5]. Ekz., la nombro

$18~239~427~829~001~312~475$

estos elparolata: $18$ trilionoj, $239~427$ bilionoj, $829~001$

milionoj, $312~475$.

En nombro neentjera, $n$-ume skribita, oni distingas la parton entjeran, kaj la parton partuman (aŭ mantison; aŭ parton decimalan, en sistemo dekuma), kiujn disigas la komo. Ĉiu cifero de la partumo estas postfiguro (aŭ decimalo, en sistemo dekuma).

Decimalfracio, ĉu finita, ĉu simple perioda, ĉu malsimple perioda, egalas sian fracion naskantan.

Operacioj. — Oni adicias nombron al alia, subtrahas nombron de alia, multiplikas, dividas nombron per alia^[6].

Se $a+b=c$, $a$, $b$ estas sumeroj; $a$ estas pliigata de $b$; $c$ estas sumo.

Se $a-b=c$, $a$ estas malpliigata de $b$; $c$ povas esti nomata ĉu diferenco, ĉu manko, ĉu troo, laŭ la vidpunkto.

Se $ab=c$, $a$, $b$ estas faktoroj; $c$ estas produto.

Se $a=bk+r$, $a$ estas dividato; $b$, dividanto; $k$, kvociento; $r$, resto.

Multiplikon per entjero, dividon ekzaktan per entjero, oni ankaŭ nomas obligon, onigon.

(E.) Kiam oni produtigas nombrojn, oni povas anstataŭi kelkajn el ili per ilia produto kalkulita. Oni povas interŝanĝi kelkajn faktorojn.

Se $a=bc$ (a, b, c, entjeroj), a estas oblo de b kaj de c; b kaj c estas onoj de a.

La produton $1.2\ldots n=n!$ oni nomas faktorialo de n.

Potencigo kaj Radikigo. — $a^{m}$ estas potenco $m^{a}$ de a; m estas esponanto (aŭ potenciganto). Potencojn duan, trian, kvaran, oni ankaŭ nomas kvadrato, kubo, bikvadrato.

La radikalo ${\sqrt[{m}]{a}}$ estas radiko $m^{a}$ de a (radiko kvadrata, kuba, bikvadrata, se $m=2,3,4$); ${\sqrt[{m}]{}}$ estas radikilo (aŭ radika signo).

Operacioj mallongigaj kaj proksimumigaj. — Neracionalo havas valoron ekzaktan, kaj valorojn proksimumajn. Oni proksimumigas neracionalon laŭ ekarto^[7], ĉu troa, ĉu manka, tiel malgranda kiel dezirate. La ekarto estas ĉu rilata, ĉu absoluta.

Progresioj. — La sekvaĵo $a,a+d,a+2d,\ldots$ estas aritmetika progresio, kies racio estas d.

La sekvaĵo $a,ar,ar^{2}\ldots$ estas geometria progresio, kies racio estas r.

Elementa Teorio de Nombroj. — Entjero estas ĉu prima, ĉu komponita^[8].

Komponito havas divizorojn. Ĝi estas, unike, malkomponebla en primojn.

Oni formas tabelon de primoj, uzante la Eratostenan kribrilon.

Entjeroj, kies plej granda komuna divizoro (P. g. k. d.) estas $1$, estas interprimumaj. Se el kelkaj entjeroj, du ajnaj estas interprimumaj, oni diras ke la entjeroj estas primumaj, unu je ĉiu el ceteraj (aŭ, pli mallonge, duope interprimumaj).

Supera Teorio de Nombroj^[9]. — Kongruaĵo estas rilato inter entjeroj: $a\equiv b$ (mod. $p$). Elparolu: $a$ estas kongrua je $b$, laŭ modulo $p$.

Analizo diofanta^[10] koncernas solvon de ekvacioj, per entjeroj aŭ racionaloj. Analizon diofantan unuagradan oni ankaŭ nomas: partigo de nombroj.

Se divido per $p$ de la nombroj $g,g^{2},\ldots g^{p-1}$ liveras $p-1$ restojn malsamajn, $g$ estas radiko primitiva de $p$. En tiu kazo, se $g^{h}\equiv k$, (mod. $p$), $h$ estas la indico de $k$.

Divido per $p$ de la entjeroj $m$-potencigitaj liveras restojn $m$-umajn (por $m=2,3,4$, restojn kvadratumajn, kubumajn, bikvadratumajn). Pri tiaj restoj, ekzistas reciprokecaj teoremoj (aŭ leĝoj).

Teorio de formoj aritmetikaj enkondukas konceptojn de ekvivaleco, reduko, klasoj k. t. p. La terminaro jam estas preskaŭ internacia.

Ĉenfracioj. — (E.) $a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+\ldots }}}}$ estas ĉenfracio^[11]; $a_{0},a_{1},a_{2}\ldots$ estas neplenaj kvocientoj;

$a_{h}+{\frac {1}{a_{h+1}+{\frac {1}{a_{h+2}+\ldots }}}}$

estas plena kvociento;

${\frac {P}{Q}}=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}\ldots +{\frac {1}{a_{h}}}}}$

estas konverĝa fracio aŭ redukaĵo.

1. France: nombre entier.
2. Ne kalkulas: Kalkuli estas vorto ĝenerala, rilata je operacio ajna, ĉu aritmetika, ĉu algebra, ĉu analitika.
3. Tiu vorto, necesega en Matematiko, mankas en la komuna lingvo.
4. La vorto raporto jam posedas alian sencon en la komuna lingvo; mi tamen ne pensas ke konfuzo estas timinda.
5. Laŭ kelkaj nacioj, $10^{9}=$biliono; $10^{12}$triliono, k. t. p. La sistemo enteksta estas pli internacia kaj pli oportuna.
6. Aldoni, depreni, multigi, partigi estas vortoj malprecizaj de la komuna lingvo (kompreneble, ankaŭ uzindaj en la matematika stilo). Oni ekzemple diros: se de determinanto $3^{a}$-orda, oni deprenas unu horizontalan kaj unu vertikalan liniojn, oni ricevas determinanton $2^{a}$-ordan; du punktoj de segmento ĝin partigas en tri segmentojn, k. t. p.
7. Ne eraro: eraro estas malgraŭa, ekarto (france, écart) estas volita.
8. Ne kunmetita. En la komuna lingvo, oni malprave uzas la vorton kunmeti, anstataŭ komponi: laŭ Logiko, oni kunmetas elementojn por komponi ion. Same, pri dismeti kaj malkomponi.
9. En tiu paragrafo, oni uzas esprimojn, kies klarigo troviĝas malsupre en Algebro.
10. El la nomo de la greka Matematikisto, Diofanto.
11. Germane, Kettenbruch (Kette, ĉeno; Bruch, fracio).